Lie algebra

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Lie groups and algebras

Lie group Lie algebra [show]Classical groups General linear group GL(n) Special linear group SL(n) Orthogonal group O(n) Special orthogonal group SO(n) Unitary group U(n) Special unitary group SU(n) Symplectic group Sp(n) [show]Simple Lie groups List of simple Lie groups Infinite simple Lie groups: An, Bn, Cn, Dn, Exceptional simple Lie groups: G2 F4 E6 E7 E8 [show]Other Lie groups Circle group Lorentz group Poincaré group Conformal group Diffeomorphism group Loop group Infinite-dimensional Lie groups O(∞) SU(∞) Sp(∞) [show]Lie algebras Exponential map Adjoint representation of a Lie group Adjoint representation of a Lie algebra Killing form [show]Structure of semi-simple Lie groups Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra [show]Representation theory Representation of a Lie group Representation of a Lie algebra [show]Lie groups in Physics Particle physics and representation theory Representation theory of the Lorentz group Representation theory of the Poincaré group Representation theory of the Galilean group

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In mathematics, a Lie algebra (pronounced /ˈliː/ ("lee"), not /ˈlaɪ/ ("lye")) is an algebraic structure whose main use is in studying geometric objects such as Lie groups and differentiable manifolds. Lie algebras were introduced to study the concept of infinitesimal transformations. The term "Lie algebra" (after Sophus Lie) was introduced by Hermann Weyl in the 1930s. In older texts, the name "infinitesimal group" is used.

[edit] Definition and first properties

A Lie algebra is a vector space over some field F together with a binary operation [·, ·]

called the Lie bracket, which satisfies the following axioms:

• Bilinearity:

for all scalars a, b in F and all elements x, y, z in .

• Alternating on :

for all x in . This implies anticommutativity, or skew-symmetry (in fact the conditions are equivalent for any Lie algebra over any field whose characteristic is not 2):

for all elements x, y in .

• The Jacobi identity:

for all x, y, z in .

For any associative algebra A with multiplication * , one can construct a Lie algebra L(A). As a vector space, L(A) is the same as A. The Lie bracket of two elements of L(A) is defined to be their commutator in A:

The associativity of the multiplication * in A implies the Jacobi identity of the commutator in L(A). In particular, the associative algebra of n × n matrices over a field F gives rise to the general linear Lie algebra The associative algebra A is called an enveloping algebra of the Lie algebra L(A). It is known that every Lie algebra can be embedded into one that arises from an associative algebra in this fashion. See universal enveloping algebra.

[edit] Homomorphisms, subalgebras, and ideals

The Lie bracket is not an associative operation in general, meaning that [[x,y],z] need not equal [x,[y,z]]. Nonetheless, much of the terminology that was developed in the theory of associative rings or associative algebras is commonly applied to Lie algebras. A subspace that is closed under the Lie bracket is called a Lie subalgebra. If a subspace satisfies a stronger condition that

then I is called an ideal in the Lie algebra .^[1] A Lie algebra in which the commutator is not identically zero and which has no proper ideals is called simple. A homomorphism between two Lie algebras (over the same ground field) is a linear map that is compatible with the commutators:

for all elements x and y in . As in the theory of associative rings, ideals are precisely the kernels of homomorphisms, given a Lie algebra and an ideal I in it, one constructs the factor algebra , and the first isomorphism theorem holds for Lie algebras. Given two Lie algebras and , their direct sum is the vector space consisting of the pairs , with the operation

[edit] Examples

• Any vector space V endowed with the identically zero Lie bracket becomes a Lie algebra. Such Lie algebras are called abelian, cf. below. Any one-dimensional Lie algebra over a field is abelian, by the antisymmetry of the Lie bracket.

• The three-dimensional Euclidean space R³ with the Lie bracket given by the cross product of vectors becomes a three-dimensional Lie algebra.

• The Heisenberg algebra is a three-dimensional Lie algebra with generators:

whose commutation relations are

It is explicitly exhibited as the space of 3×3 strictly upper-triangular matrices.

• The subspace of the general linear Lie algebra consisting of matrices of trace zero is a subalgebra,^[2] the special linear Lie algebra, denoted

• Any Lie group G defines an associated real Lie algebra The definition in general is somewhat technical, but in the case of real matrix groups, it can be formulated via the exponential map, or the matrix exponent. The Lie algebra consists of those matrices X for which

for all real numbers t. The Lie bracket of is given by the commutator of matrices. As a concrete example, consider the special linear group SL(n,R), consisting of all n × n matrices with real entries and determinant 1. This is a matrix Lie group, and its Lie algebra consists of all n × n matrices with real entries and trace 0.

• The real vector space of all n × n skew-hermitian matrices is closed under the commutator and forms a real Lie algebra denoted . This is the Lie algebra of the unitary group U(n).

• An important class of infinite-dimensional real Lie algebras arises in differential topology. The space of smooth vector fields on a differentiable manifold M forms a Lie algebra, where the Lie bracket is defined to be the commutator of vector fields. One way of expressing the Lie bracket is through the formalism of Lie derivatives, which identifies a vector field X with a first order partial differential operator L_X acting on smooth functions by letting L_X(f) be the directional derivative of the function f in the direction of X. The Lie bracket [X,Y] of two vector fields is the vector field defined through its action on functions by the formula:

This Lie algebra is related to the pseudogroup of diffeomorphisms of M.

• The commutation relations between the x, y, and z components of the angular momentum operator in quantum mechanics form a representation of a complex three-dimensional Lie algebra, which is the complexification of the Lie algebra so(3) of the three-dimensional rotation group:

• Kac–Moody algebra is an example of an infinite-dimensional Lie algebra.

[edit] Structure theory and classification

Every finite-dimensional real or complex Lie algebra has a faithful representation by matrices (Ado's theorem). Lie's fundamental theorems describe a relation between Lie groups and Lie algebras. In particular, any Lie group gives rise to a canonically determined Lie algebra (concretely, the tangent space at the identity), and conversely, for any Lie algebra there is a corresponding connected Lie group (Lie's third theorem). This Lie group is not determined uniquely, however, any two connected Lie groups with the same Lie algebra are locally isomorphic, and in particular, have the same universal cover. For instance, the special orthogonal group SO(3) and the special unitary group SU(2) give rise to the same Lie algebra, which is isomorphic to R³ with the cross-product, and SU(2) is a simply-connected twofold cover of SO(3). Real and complex Lie algebras can be classified to some extent, and this is often an important step toward the classification of Lie groups.

[edit] Abelian, nilpotent, and solvable

Analogously to abelian, nilpotent, and solvable groups, defined in terms of the derived subgroups, one can define abelian, nilpotent, and solvable Lie algebras.

A Lie algebra is abelian if the Lie bracket vanishes, i.e. [x,y] = 0, for all x and y in . Abelian Lie algebras correspond to commutative (or abelian) connected Lie groups such as vector spaces Kⁿ or tori Tⁿ, and are all of the form meaning an n-dimensional vector space with the trivial Lie bracket.

A more general class of Lie algebras is defined by the vanishing of all commutators of given length. A Lie algebra is nilpotent if the lower central series

becomes zero eventually. By Engel's theorem, a Lie algebra is nilpotent if and only if for every u in the adjoint endomorphism

is nilpotent.

More generally still, a Lie algebra is said to be solvable if the derived series:

becomes zero eventually.

Every Lie algebra has a unique maximal solvable ideal, called its radical. Under the Lie correspondence, nilpotent (respectively, solvable) connected Lie groups correspond to nilpotent (respectively, solvable) Lie algebras.

[edit] Simple and semisimple

A Lie algebra is "simple" if it has no non-trivial ideals and is not abelian. A Lie algebra is called semisimple if its radical is zero. Equivalently, is semisimple if it does not contain any non-zero abelian ideals. In particular, a simple Lie algebra is semisimple. Conversely, it can be proven that any semisimple Lie algebra is the direct sum of its minimal ideals, which are canonically determined simple Lie algebras.

The concept of semisimplicity for Lie algebras is closely related with the complete reducibility of their representations. When the ground field F has characteristic zero, semisimplicity of a Lie algebra over F is equivalent to the complete reducibility of all finite-dimensional representations of An early proof of this statement proceeded via connection with compact groups (Weyl's unitary trick), but later entirely algebraic proofs were found.

[edit] Classification

In many ways, the classes of semisimple and solvable Lie algebras are at the opposite ends of the full spectrum of the Lie algebras. The Levi decomposition expresses an arbitrary Lie algebra as a semidirect sum of its solvable radical and a semisimple Lie algebra, almost in a canonical way. Semisimple Lie algebras over an algebraically closed field have been completely classified through their root systems. The classification of solvable Lie algebras is a 'wild' problem, and cannot^{[clarification needed]} be accomplished in general.

Cartan's criterion gives conditions for a Lie algebra to be nilpotent, solvable, or semisimple. It is based on the notion of the Killing form, a symmetric bilinear form on defined by the formula

where tr denotes the trace of a linear operator. A Lie algebra is semisimple if and only if the Killing form is nondegenerate. A Lie algebra is solvable if and only if

[edit] Relation to Lie groups

Although Lie algebras are often studied in their own right, historically they arose as a means to study Lie groups. Given a Lie group, a Lie algebra can be associated to it either by endowing the tangent space to the identity with the differential of the adjoint map, or by considering the left-invariant vector fields as mentioned in the examples. This association is functorial, meaning that homomorphisms of Lie groups lift to homomorphisms of Lie algebras, and various properties are satisfied by this lifting: it commutes with composition, it maps Lie subgroups, kernels, quotients and cokernels of Lie groups to subalgebras, kernels, quotients and cokernels of Lie algebras, respectively.

The functor which takes each Lie group to its Lie algebra and each homomorphism to its differential is a full and faithful exact functor. This functor is not invertible; different Lie groups may have the same Lie algebra, for example SO(3) and SU(2) have isomorphic Lie algebras. Even worse, some Lie algebras need not have any associated Lie group. Nevertheless, when the Lie algebra is finite-dimensional, there is always at least one Lie group whose Lie algebra is the one under discussion, and a preferred Lie group can be chosen. Any finite-dimensional connected Lie group has a universal cover. This group can be constructed as the image of the Lie algebra under the exponential map. More generally, we have that the Lie algebra is homeomorphic to a neighborhood of the identity. But globally, if the Lie group is compact, the exponential will not be injective, and if the Lie group is not connected, simply connected or compact, the exponential map need not be surjective.

If the Lie algebra is infinite-dimensional, the issue is more subtle. In many instances, the exponential map is not even locally a homeomorphism (for example, in Diff(S¹), one may find diffeomorphisms arbitrarily close to the identity which are not in the image of exp). Furthermore, some infinite-dimensional Lie algebras are not the Lie algebra of any group.

The correspondence between Lie algebras and Lie groups is used in several ways, including in the classification of Lie groups and the related matter of the representation theory of Lie groups. Every representation of a Lie algebra lifts uniquely to a representation of the corresponding connected, simply connected Lie group, and conversely every representation of any Lie group induces a representation of the group's Lie algebra; the representations are in one to one correspondence. Therefore, knowing the representations of a Lie algebra settles the question of representations of the group. As for classification, it can be shown that any connected Lie group with a given Lie algebra is isomorphic to the universal cover mod a discrete central subgroup. So classifying Lie groups becomes simply a matter of counting the discrete subgroups of the center, once the classification of Lie algebras is known (solved by Cartan et al. in the semisimple case).

[edit] Category theoretic definition

Using the language of category theory, a Lie algebra can be defined as an object A in Vec, the category of vector spaces together with a morphism [.,.]: A ⊗ A → A, where ⊗ refers to the monoidal product of Vec, such that

where τ (a ⊗ b) := b ⊗ a and σ is the cyclic permutation braiding (id ⊗ τ_A,A) ° (τ_A,A ⊗ id). In diagrammatic form:

[edit] See also

• Adjoint representation of a Lie algebra
• Anyonic Lie algebra
• Lie algebra cohomology
• Lie algebra representation
• Lie bialgebra
• Lie coalgebra
• Lie superalgebra
• Killing form
• Particle physics and representation theory
• Poisson algebra
• Quasi-Lie algebra
• Restricted Lie algebra
• Symmetric Lie algebra

[edit] Notes

1. ^ Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.
2. ^ Humphreys p.2

[edit] References

• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
• Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Killing.html
• Steeb, W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra, second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

'모든 것'은 '없는 것'이다.
Everything is nothing.

 
'하나', '둘', 그리고 '무수히 많다.'
One, two, and infinity.

- 물리학자들의 수학
- Math of physicists

Scordatura

프레시안 | 기사입력 2008.10.15 07:43

[위기의 한국경제, 현장을 가다 ③]거래가 실종된 부동산 시장

[프레시안 이대희/기자]
거품이 가라앉으니 아파트의 맨 얼굴이 반사돼 비친다. 하염없이 오를 줄만 알았던 아파트의 '쌩얼'은 립스틱이 지워지며 일그러진 웃음마저 사라진 '조커'의 모습이었다. 아파트 가격 하락은 대세로 자리잡았다. 매매가 실종됐다.

부동산 시장이 마비되니 모두의 표정에 생기가 사라졌다. 거액의 담보대출을 끼고 집을 산 사람은 말 그대로 공황에 빠졌다. 급하게 집을 처분해야 하는 이는 매입가격 이하로 집을 내놔야 하니 죽을 지경이다. 전세 사는 사람들도 괜스레 불안하다.

(중략)

이문동 임대아파트에 살다 이번 달 시프트 59㎡형 추가 청약에 성공한 주부 김모 씨(37)는 "전세대출금리가 8.9%나 했지만 앞으로 두 자리 수가 될 것 같아 큰 맘 먹고 1억 원 대출을 받았다. 여기 전세가도 생각보다는 비쌌지만 발판으로 마련한다는 생각에 무리했다"고 말했다.

김 씨는 하지만 앞으로 부담이 걱정인 듯 했다. 두 아이의 교육비 등을 감안하면 앞날이 캄캄하기 때문이다. 그는 "앞으로 한 달에 이자만 60~70만 원이 나간다. 여기에 아이들 교육비까지 생각하면 정말 걱정이다. 남편은 돈을 더 벌기 위해 두바이로 나갔다"며 "평생 빚 갚다 골로 가는 게 서민의 삶"이라며 한숨을 쉬었다.

(후략)

MB정부, 거품은 키우면서 집값은 떨어뜨리겠다? 이명박 정부는 전문가들의 지적과는 정반대되는 거품부양 정책을 쓰고 있다. 정확하게는 거품을 부양시키면서도 집값을 떨어뜨리려는 '이상한' 정책을 펴고 있다. 지방 미분양주택 매입, 종부세 등 각종 세제 완화, 대대적 규제완화 등 건설경기 부양책을 대대적으로 펼치면서도 다른 한편에서는 '9.19 주택공급정책'을 통해 향후 10년 동안 연간 50만 가구씩 모두 500만 가구를 추가 공급하겠다는 물량 퍼붓기 정책을 내놓은 것이다. 여기에 이명박 대통령이 서울시장 재임 시절 대대적으로 밀어붙인 뉴타운개발 등 재개발 사업과 노무현 정권 당시 신도시 개발물량까지 합산한다면 상상을 초월하는 대규모 물량 공세가 이어지게 된다. 내년에 예정된 신도시 물량만 57만 가구다. 이미 물량공세의 직격탄을 맞은 서울 송파 인근 지역에서는 대규모 미분양 사태가 빚어지고 있다. 정성훈 주택개발연구원 연구위원은 "시차를 두고 수요와 공급이 맞아 떨어지도록 정책의 속도를 조절해야 한다"며 "이제는 새 개발보다는 도시재생사업에 관심을 기울여야 할 때"라고 일방적인 공급확대책에 반대했다. < rimgcaption > ▲노원구 중계동의 한 아파트에 붙은 현수막. 우리는 아파트에 너무나 많은 삶과 노력, 돈을 투자한다. 이는 매매를 통해 회수해야만 하는 결과물로 여겨진다. 한국사회에서는 그래야만 '더 나은 삶'을 꿈꿀 수 있기 때문이다. ⓒ프레시안 아파트 가격이 얼마나 더 하락해야 많은 무주택자들이 '내 집'을 마련할 수 있을까. 정확한 수치는 아무도 제시하지 못한다. 다만 지금 전국에 걸쳐 중환자처럼 누워 있는 아파트가 본래 가진 '주거 기능'을 회복할 수 있도록 하기 위해서는 무엇보다 끊임없이 증식하는 '아파트=투자'의 공식을 깨야 한다는 것만은 틀림없어 보인다. 백준 교수는 "이제는 부동산을 시장논리의 개념으로 바라보는 수준을 넘어서야 한다. 공공의 역할과 '주택정책' 자체의 의미로 바라봐야 할 때"라며 "정상화를 위한 진통은 참아야 한다. 당장의 아픔을 참기 위해 또 다시 대증요법을 써서는 안 된다"고 강조했다. 아파트 가격에 일희일비하지 않는 날이 올 수 있을까. 중계동의 한 공원을 산책하던 허모 씨(67)는 가능성을 찾아볼 수 있는 답을 했다. "집값이 내린다고? 난 그런 것 잘 모른다. 오르면 뭐하고 내리면 뭐하나? 어차피 우리 집은 두 노인네가 여생을 보내려고 예전에 장만한 곳이다."

법치주의

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법치주의(法治主義)는 사람이나 폭력이 아닌 법이 지배하는 국가원리, 헌법원리이다. 공포되고 명확하게 규정된 법에 의해 국가권력을 제한·통제함으로써 자의적인 지배를 배격하는 것을 핵심으로 한다. 법치주의의 근원적 이상은 통치자의 자의에 의한 지배가 아닌 합리적이고 공공적인 규칙에 의한 지배를 통해 공정한 사회협동의 체계를 확보하려는 데에 있다.^[1] 사회 내 특정 세력이 다른 세력들을 압도할 만한 힘을 가지지 못한 상황에서 법의 지배는 부각되고 정치행위 주체들은 법에 의거해 갈등을 해결하려 한다.^[2] 사상적 연혁에 따라 법의 지배(Rule of Law)나 법치국가(Rechtsstaat) 원리로도 불린다.

목차 [숨기기] 1 법치주의 사상의 전개 1.1 고대 그리스 1.2 법의 지배 1.3 법치국가론 1.4 동양의 법치사상 2 법치주의의 내용 3 형식적·실질적 법치주의 4 법치주의의 수명자 5 법의 지배와 법에 의한 지배 6 법치행정 7 대한민국의 판례 8 주석 9 같이 보기

법치주의 사상의 전개

(중략)

법치국가론

독일에서 전개되는 법치주의 사상은 이른바 법치국가론이었다. 법치국가는 경찰국가나 관료국가에 대비되는 국가원리이다. 오토 마이어는 법률우위의 원칙을 주창하며 행정의 법률적합성을 기반하는 국가가 법치국가라고 하였다. 칼 슈미트는 “법치국가는 국가권력의 제한과 통제의 원리로서 시민적 자유의 보장과 국가권력의 상대화체계를 구성요소로 한다”라고 하였다.^[5]

동양의 법치사상

동양에서는 법의 중요성과 법에 의한 통치를 강조한 법가가 있다. 예를 들어, 법가의 서적인 《유도》(有度)에서 “奉法者强 則國强 奉法者弱 則國弱(법을 받드는 것이 강하면 강한 나라가 되고, 법을 받드는 것이 약하면 약한 나라가 된다.). 法不阿貴 繩不撓曲 法之所加 智者弗能辭 勇者弗敢爭 刑過不避大臣 賞善不遺匹夫(법은 귀족을 봐주지 않는다. 먹줄이 굽지 않는 것과 같다. 법이 시행될 때에 지자도 이유를 붙일 수 없고 용자도 감히 다투지 못한다. 과오를 벌할 때에 대신도 피할 수 없으며, 선행을 상 줄 때에 필부도 빠트리지 않는다.)”^[6]에서 알 수 있듯이, 귀천을 가리지 않고 법 앞의 평등과 법의 엄정함을 강조했다. 또한 동양의 국가원리가 유교가 지배적이었지만 국가권력의 발동의 기저에는 법치적 사상이 일정 토대를 이루고 있었다.

법치주의의 내용

전세계 법치주의 지수(2005). 녹색에 가까울수록 법치주의의 실현도가 높으며 적색에 가까울수록 그러하지 않다.

법치주의의 구체적 내용에 대해서는 시대적 연원, 사상적 전개에 따라 견해가 나뉘고 있다. 법치주의의 정의(定義)에 대해서도 각자가 처한 시각과 입장에 따라 매우 다양하게 규정되는 것과 맥락을 같이 한다. 다만 현대 법치국가에서 공통적으로 확인할 수 있는 내용은 대략적으로 다음과 같다.

• 기본권의 보장
• 적법절차의 원리
• 권력분립
• 위헌법률심사제도
• 포괄적 위임입법의 금지
• 행정의 합법률성
• 공권력 행사에 대한 예측가능성과 신뢰보호의 원칙

형식적·실질적 법치주의

국왕의 절대권력을 견제하기 위한 이념과 제도로 법치주의가 발전하여 왔으며 시민혁명의 촉발로 서구 근대국가의 기본적 틀로 자리매김하게 되었다. 부르주아 세력은 국왕을 절대 권좌에서 끌어내리고 부르주아가 중심으로 구성된 의회의 의사로 구현된 법을 그 권좌 위에 올려놓았다. 이제 행정과 사법은 의회가 제정한 법 그대로의 소임을 다 해야하는 역할이 부여되었다. 따라서 의회가 적법한 절차를 거쳐 법을 제정하기만 했다면 그 법의 목적이나 내용은 문제삼을 수 없으며 법치주의는 형식적인 통치원리로서 인식되었는데 이를 형식적 법치주의라고 한다. 그러나 형식적 법치주의는 의회를 장악한 다수의 횡포나 대중을 선동하여 등장한 독재자의 전제를 전혀 견제할 수 없었고 오히려 형식적 통치원리로서의 법치주의가 권력자의 통치권을 강화하는데 일조하는 역기능을 낳고 말았다. 마틴 루터 킹 목사가 “히틀러의 만행이 당시 합법이었다는 것을 잊지 말아야 합니다(Never forget that everything Hitler did in Germany was legal).”^[7]라고 말한 것은 이 형식적 법치의 문제점을 단적으로 지적한 것이다.

형식적 법치주의의 패배는 바로 이 히틀러의 나치 독일에서 극적으로 나타났는데 법을 오직 통치의 수단으로서만 이용하고 개인의 자유와 권리를 탄압하는 법률적 불법(Gesetzliches Unrecht)의 탄생을 낳았다. 파시즘이 2차 대전에서 몰락하고 형식적 법치주의는 이른바 실질적 법치주의에게 자리를 내주게 된다. 실질적 법치주의는 공권력의 행사가 법률에 기초를 두고 있다고 할지라도 법률 그 자체의 내용이 정당하지 않는다면 이는 법치주의를 벗어나는 외견적 법률주의에 불과하다고 한다. 따라서 인간의 존엄을 바탕에 두고 기본권을 보장하며 실질적 평등을 추구하는 내용을 담은 법률이 전제되는 법치주의가 실질적 법치주의이다. 요컨대, 형식적 법치주의는 합법성에만 초점을 두었다면 실질적 법치주의는 합법성과 더불어 정당성에도 초점을 두는 원리이다. 제2차 세계 대전 이후 실질적 법치주의의 득세로 대부분의 국가는 헌법의 규범력을 강화하고 위헌법률심사제도를 구축함으로써 단순한 법의 지배이 아닌, “정당한” 법의 지배를 꾀하고 있다.

이로써 선거를 거쳐 형성된 다수 세력의 정치적 의사로 확립된 법률들이 소수의 법관(대법원의 판사나 헌법재판소의 재판관)들에 의하여 무효화되는 사례가 적지 않게 되었다. 이런 사례들이 나타나면서, 헌법재판소(또는 대법원)의 권한 및 그 범위에 대한 논쟁, 민주주의와 법치주의의 충돌과 조화 문제, 통상 보수 성향을 가진 법관의 구성 논쟁, 정치의 사법화(judicialization of politics)와 사법의 정치화 문제, 사법적극주의와 사법소극주의의 대립 등 여러 논의들이 있어왔고 진행 중이다.

대한민국의 경우, 근대적 법체계가 도입되기 이전부터 법의 실질을 요구하는 법문화가 형성되어 있었다. 조선시대의 예법일치(禮法一致) 사상이 바로 그것이다.^[8] 광복 이후 근대적 사법체계가 도입된 이래 형식적 법치주의의 기틀조차 탄탄하지 못하여 법의 형식성 측면에서 부족한 법제도와 법문화를 드러냈다. 실질의 측면에서도 군부 독재를 거치면서 행정부 우월의 삼권분립이 형성되었고 사법부의 힘이 상대적으로 약했으며 헌법의 규범력은 약한 편이었다. 실제로 박정희 정권 때, 국가배상법 등에 대한 위헌판결에서 위헌의견에 가담한 대법원판사들이 법관재임용과정에서 전원탈락하였고 그 법률이 헌법에 들어가는 일도 있었다. 그러나 군부 독재 안에서도 형식적·실질적 법치주의의 구현을 위하여 노력한 법률가와 일반 국민이 있어 왔고 6·10 민주항쟁이후 민주헌정 시대로 접어들면서 헌법의 규범력이 강화되고 사법부의 독립성이 제고되었으며 독재자 1인의 지배가 아닌 민주적 토론과 절차를 통해 도출된 법의 지배가 한층 강화되었다. 제6공화국부터 설치된 헌법재판소는 법률의 위헌 여부를 심사하여 기본권의 보장과 헌법적 가치의 실현을 위해 노력 중이다. 한편, 노무현 탄핵 사태와 신행정수도 사건와 같은 정치적인 사건에서 헌법재판소의 역할이 부각되면서, 정치의 사법화 논쟁과 헌법재판소의 역할과 권한 등이 열띠게 논의되었다.

법치주의의 수명자

법치주의는 규범화된 질서적 체계 또는 원리이며 따라서 규범에 대응하는 수범자가 있기 마련이다. 국가공무원을 포함하는 국가권력이 법치주의의 수명자인 것은 법치주의의 이념과 연원상 당연하다고 할 수 있다. 그렇다면 일반 국민도 법치주의의 수명자인지에 대해서는 견해가 나뉘고 있다. 이에 대해 국가권력을 수명자로 하는 법치주의를 협의의 법치주의로, 일반 국민도 수명자로 포괄하는 법치주의를 광의의 법치주의로 파악하는 견해가 있다. 한편, 광의의 법치주의는 법준수의무로 풀이될 수 있으므로 국가공무원을 수명자로 하는 협의의 법치주의만 법치주의에 해당한다고 보는 견해가 있다.^[9] 그리고 법준수의무는 법규범 자체의 당연한 요청이므로 법치주의에는 (무조건적 복종이 아닌 계몽된) 법준수의무가 내용에 포함된다고 보는 견해도 있다.^[10]

법의 지배와 법에 의한 지배

법치주의, 즉 법의 지배(rule of law)를 법에 의한 지배(rule by law)와 분별하는 견해에서 법의 지배가 갖는 결정적인 특징은 바로 법이 최고의 권력을 가진 자도 구속한다는 점이다. 법에 의한 지배는 법을 통치자의 의사를 실현하는 단순한 수단에 불과한 도구로 전락시키는 것으로 법치주의의 진정한 의미와는 다르다. 법와 왕을 동의어로 생각했던 것도 법에 의한 지배의 다른 표현이었다. 따라서 엄격한 법집행과 법준수의무의 강조로만 법치주의를 온전히 설명할 수 없으며 법의 지배에는 최고의 권력자나 실력자도 법 위에 설 수 없다는 내용이 들어가야 한다.

(후략)

Zinc oxide, <Wikipedia>
http://en.wikipedia.org/wiki/ZnO#cite_note-Look1999-4

Especially,

Electronic materials
 ZnO is a semiconductor with a direct bandgap energy of 3.37 eV at room temperature. The most common applications are in laser diodes and light emitting diodes (LEDs) since it has an exciton and biexciton energies of 60 meV and 15 meV, respectively. It is expected that this exciton properties of ZnO will be improved further by epitaxy.
 Most ZnO has n-type character, even in the absence of intentional doping. Native defects such as oxygen vacancies or zinc interstitials are often assumed to be the origin of this, but the subject remains controversial. An alternative explanation has been proposed, based on theoretical calculations, that unintentional substitutional hydrogen impurities are responsible.
 n-type doped films are often used in thin film technology, where zinc oxide serves as a TCO (transparent conducting oxide). n-type doping is possible by introduction of aluminium, indium, or excess zinc. p-type doping is difficult and is currently an active area of research, with arsenic as the leading candidate dopant. Thin-film solar cells, LCD and flat panel displays are typical applications of this material. Appropriately doped ZnO may be transparent and conductive, and can therefore be used as a transparent electrode. Indium tin oxide (ITO) is another transparent conducting oxide often used in microelectronics.
 ZnO has also been considered for spintronics applications because of theoretical predictions of room temperature ferromagnetism. Unsubstantiated reports of ferromagnetism have been made, but presence of dilute magnetic semiconductors remains a large unanswered question in physics.
 The piezoelectricity in textile fibers coated in ZnO have been shown capable of "self-powering nanosystems" with everyday mechanical stress generated by wind or body movements.
 ZnO layers are mainly deposited by sputter deposition and chemical vapor deposition (CVD). The latter method allows the growth of a rough layer, which can diffuse the incoming light by scattering, increasing the efficiency of solar cells.
 ZnO has been observed to act as a chemical reagent for Friedel-Craft Acylation Reaction.


Characterization of ZnO Thin Films
http://www.ursi.org/Proceedings/ProcGA05/pdf/A10.7(0306).pdf


Optical and structural characterisation of zinc oxide thin films
prepared by sol-gel process
http://www.crystalresearch.com/crt/ab41/893_a.pdf


Surface characterization of ZnO transparent thin films
http://iopscience.iop.org/1742-6596/10/1/036/pdf?ejredirect=.iopsciencetrial

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Pulsed laser deposition
http://en.wikipedia.org/wiki/Pulsed_Laser_Deposition


Plasma-enhanced chemical vapor deposition, <Wikipedia>
http://en.wikipedia.org/wiki/Plasma-enhanced_chemical_vapor_deposition


Sol-gel, <Wikipedia>
http://en.wikipedia.org/wiki/Sol-gel